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第六章 流数术与无穷级数(2)

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三辆马车排成纵列,静谧地行驶在瓦鲁瓦公爵领的乡间。

亚伯拉罕古教会的二十多个成员分座在这三辆马车上。《战车登天技法》被也切割成了三份,由三辆马车上的人分别持有。这一方面是为了加速密文的破译,另一方面则是为了防止有人想要独占《战车登天技法》。

据艾拉他们被魔法传送至法兰西岛已有整整一个月。《战车登天技法》的破译工作在那二十多个亚伯拉罕古教会成员的协力下已接近尾声。

可在空间上,他们却还是在法兰西岛的周边团团打转——虽然没有被法兰西岛伯爵的人给逮住,却也丝毫没有接近施塔德。如果把他们走过的路线在地图上画出来,就会发现比起逃离法兰西岛,他们倒更像是在对法兰西岛周边进行地毯式搜查。

没有任何一个人站出来对这种诡异的路线进行解释。因为这条诡异路线的规划者——艾拉.科尔涅利乌斯.西庇阿,至始至终都在做着数学题。

在一个月里,艾拉的数学研究得到了长足的进展。

利用那个蜘蛛的梦境所得到的灵感,艾拉在白纸上画出了横、竖两条呈九十度角的数轴。

艾拉将这两条数轴所构成的系统命名为坐标轴。

通过这种方式,白纸上的任何一点都可以用一个数字的坐标所表示出来。任何几何图形都是由无限个点所构成,换句话说,利用这个坐标轴,任何几何图形就都可以转化为数了。

——几何和数,在此基础上得到了统一。

艾拉觉得自己已经朝着毕达哥拉斯学派“万物皆数”这个理念踏出了一大步,好几次都忍不住想要把这个发现告诉戈特弗里德。

然而,正致力于破解《战车登天技法》的戈特弗里德根本没有心思听艾拉在喋喋不休地说着什么。艾拉几次跑过去,都被戈特弗里德敷衍了事。

到了后来,只要艾拉一出现在戈特弗里德的马车前,甚至不用戈特弗里德出声,他旁边的人就会像驱赶苍蝇一样驱赶她了。

哈比巴似乎看到了赚钱的良机,笑嘻嘻地凑过来对艾拉说道:“大小姐,我这徒弟脾气不好,唯独听我的话。你要真想学数学,给我五个诺米斯马,我担保他老老实实教你。他不愿意,我把他捆起来丢你房间去也行。”

但即便是哈比巴,最后也补充了一句:“不过,要等我们把《战车登天技法》解密完之后。”

据这群亚伯拉罕古教会成员的说法,《战车登天技法》上记载了丈量无限神明的方法。学习它,就能了解至高神的性质,得到远超越任何一种加护的力量。

为了尽快摆脱被使徒追杀的窘境,他们日夜不停的进行着破译《战车登天技法》的工作,平均每人每天只睡三小时。这一个月下来,他们已经到了极限了,才没有什么心思去管什么数学题。

艾拉只能悻悻地缩回马车的角落,自己一个人在纸上继续写写画画着。作为报复,当有人问她为什么要走这种路线时,她也总是敷衍地说道:“等我做完这道题。”

在这段时间里,她把所有常见的几何图形都用基于坐标轴的函数式表达了出来。然后,问题就又回到了那条抛物线上。

抛物线是一条曲线。经验告诉艾拉,每当问题和曲线相关的时候,难度就会一下子变大。

通过坐标轴,艾拉已经可以用数字描述各种各样的曲线。为了给自己一些信心,她先是选择了最简单的抛物线:y=x2来进行研究。

她做了一条直线y=1,与抛物线交于一个a点。这样,抛物线、直线、x轴三条线就围成了一个不规则的几何图形。

艾拉想要计算出这个不规则图形的面积。

她在抛物线上找出一个个点,分别垂直x轴与y轴做出两条线,以此把这个不规则图形分成了一个个矩形。这些矩形的面积加起来显然大于那个不规则图形的面积。然而,把这些矩形分的越细,他们的面积就会越接近于那个不规则图形。

艾拉假设从坐标轴原点到y=1这条直线之间分出了n个矩形,那么每个矩形的宽度就是1/n。又因为抛物线的函数式是y=x2,那么第一个矩形的高就是(1/n)2,第二个矩形的高度就是(2/n)2……

那么,所有矩形的面积之和就是:

s=1/nx(1/n)2+1/nx(2/n)2+……+1/nx(n/n)2

这是一个无穷级数。然而,戈特弗里德曾经教过艾拉无穷多项式的平方和公式。在利用这个公式将这个无穷级数化简之后,她得到了一个极为简单的算式:

s=1/3+1/(2n)+1/(6n2)

n越大,矩形的面积和就越接近于那个不规则图形。那么当n无限大的时候,矩形的面积之和s就会等于那个不规则图形的面积。此时,1/(2n)和1/(6n2)就是无限小,完全可以舍去。

于是这个不规则图形的面积就显而易了:s=1/3。

——无限大、无限小

艾拉把刚刚出现的这两个概念低声念了一遍。在数学运算中出现了无限的概念,让她多少感到有些不适。

她甩甩头,把这种不适感抛到脑后,然后将函数式由y=x2改成了y=x3

虽然只是轻微的改动,但要求出面积的难度立刻大了数倍。这次,艾拉写了整整两页纸,也没能向先前一样把公式化简。

“为什么一涉及曲线,就总是会出现无限啊!”

艾拉抛下笔,抱着头哀嚎了起来。

无限,这是所有数学家都难以跨越的深渊。

抛物线和圆都还只是最简单的曲线,只不过是从无限的深渊边探出来的一根小小的树枝。艾拉抓住了这根小树枝。可当继续下望时,她看到的是更为恐怖的深渊——利用坐标轴和函数式,她找到了许许多多阿基米德根本无法描述的复杂曲线。

她发现了它们,却根本无法驾驭它们。这仿佛是神明的一个警告:人啊,做你该做的事!

无限,这是人类绝对不能涉足的禁区。

“毕达哥拉斯学派的魔法也太难学了!”

艾拉又一次大喊了起来。

“小声点!”

亚伯拉罕正教会的人纷纷向艾拉投来了不满的视线,吓得艾拉慌忙捂住了嘴巴。

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