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第170章 加权筛法,证明1+2!

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敢想,三楼。

在孙振河的桌子上,摆了一堆书籍。

除了班主任要求的《堆垒素数论》、《悠扬的素数》、《莫怀荣:1+3证明讲解》之外,孙振河在学习探索的同时,也找了更多相关的书籍。

《数论导引》、《解析数论导引》、《筛法》、《数论中的三角和方法》、《筛法与哥德巴赫猜想》等等。

这些书,他已经吃透的差不多了。

前些天,师父将大题的思路讲了一遍,当时他不理解,甚至觉得,班主任一教体育的,懂什么数学。

但随着研究的深入,他隐隐察觉,师父指的路,是对的。

但即使指明了道路,怎么走通,仍然是个很大的问题。

甚至,担心会不会,走着走着把之前的一切方法推翻。

这样的例子,在整个科学上屡见不鲜。

上个世纪初,物理学家们因为牛顿力学的最后一点小瑕疵,建造出来量子力学、广义相对论两座大山,把牛顿力学挤压到了角落里。

他不能太依赖所谓的权威。

孙振河一遍遍地推倒公式,递进方程。

把布朗筛法、圆法等思路,用在证明“1+2”的思路上。

一次次被卡住。

但是,每次都有新的收获。

直到昨天,终于感受到,他对1+2的理解,来到了一个新的台阶,证明,已经近在咫尺。

但他也明白,这最后的一步,

往往最难。

诚如张坤所言,很多时候,这不起眼的一小步,可能就是几十年。

从证明了“1+3”到现在,过去了这么多年,不依旧没能证明“1+2”吗?

但他等不了那么久。

如果他能证明此式,可以圆了师父了梦想,还了知遇之恩。

也可以让父母复婚,破镜重圆,让家庭恢复以前的幸福。

不过。

数学毕竟是数学,冷酷,孤傲,不会因为一个人的悲惨经历而去怜悯他。

孙振河一次次的铩羽而归。

“或许,现在只是一个错觉。”

他想到,许多比他更聪明的人,早他多少年,来到了此处。

只是再也前进不了一步。

他区区一个高中生,又何德何能能够……

孙振河甩了甩脑袋,把退堂鼓甩至脑后。

把稿纸拿起来。

盯着书上的方法发了一会呆。

“再打磨一遍圆法吧…”

圆法,证明了弱哥猜的方法,拿它演练一遍强哥猜,看看能不能和布朗筛法结合起来。

孙振河捏起笔,刷刷地写写画画。

很快。

再次停住。

不行。

“还是不行。”

孙振河抱了抱脑袋,他不想放弃,但是,这个证明真的太难了!

正在这时,孙振河再次感受到一股神清目明的清凉。

大脑前所未有的清明。

脑海里的那些公式,像是活过来一般,一个个地飘在眼前。

他不知道,陈一航启动了智力潮汐,把自己75点智力的10%,转嫁到他身上,他此刻的智力已经从86,来到了惊人的93.5。

再看书籍上的公式,孙振河有种得心应手的亲切感。

思路极其活跃,领悟力达到了不能理解的水平。

这种体验,简直不要太爽。

“这……”

他知道自己进入到一种玄而又玄的状态,不及多去感慨。

赶忙再次把草稿纸拿出来。

从头开始演练,1+2证明过程。

每一个充分大的偶数,都可以表示为一个素数和一个不超过两个素因数的乘积之和。

“布朗筛法,圆法…不行,还是不行。前面已经没路了。”

“需要构造一款新的工具才行…”

怎么构建?!

将表示偶数 N为两个奇素数之和的表法个数 r(N)表示为积分:

r(N) = ∫?1 S(a, N)2 e(-Na) da

其中 S(a, N) = Σ_{p ≤ N} e(pa)是素数的三角和 (p`为素数, e(x) = e^{2πix})

圆法及其变体,行不通。

但…

可以做…加权改造?

是了!

加权筛法。

哈代和李特尔伍德的思路在偶数证明不成立,但可以籍此证明对于奇数 N,存在无穷多个素数 p使得 N - p是殆素数!

布伦筛法给出上界筛和下界筛函数!

塞尔伯格筛法给出上界估计方法!

加权!

“不能简单地筛出素数,而是通过权重函数,筛出那些使得 N - p的素因数个数,不超过2的素数 p!”

“而这个权重函数要实现的功能是…”

“当 N - p 是素数时,赋予较大的正权重。”

“当 N - p恰好有两个素因数时,赋予较小的正权重。”

“当 N - p 有三个或更多素因数时,赋予零或负权重,筛掉这部分…”

要实现这个目标,他要构造一个加权和:

Σ{p | N - p} ... w(d)

(其中 d 是 N - p的因子,w(d)是权重函数)

孙振河豁然开朗。

拿起笔继续书写。

三楼寂静无声,只有笔墨划过纸张的沙沙声。

勾勒出加权筛法公式,下一步就是优化和证明。

素数定理π(x) ~ x \/ ln x…

切比雪夫不等式…

默滕斯定理…

维诺格拉多夫定理…

没多久,那种玄妙的感觉消失了。

孙振河只是略微一愣。

马上继续埋头在稿纸上。

他已经构造除了加权筛法工具,最难的环节已经走通,接下来,只剩下了证明和机械运算。

“在应用圆法时,需要将单位区间分成主区间(优弧)和余区间(劣弧),在包含所有有理数 a\/q (q 较小) 的优弧上,S(a, N)可以用 Siegel-walfisz 定理……”

“ 在劣弧上,需要证明 |S(a, N)|相对于主项很小。可以利用韦伊估计来获得三角和的非平凡上界……”

孙振河完全沉浸在数学的世界里,浑然没有注意到日光暗淡下去,窗外的路灯照射进来。

也没有注意到,陈一航走了进来,打开了灯。

他身旁的稿纸,一张又一张的堆落,堆成了一座小山。

一直到写完最后一个公式。

他才醒悟过来。

大吼了一声:“嗷呜~”

爽!

伸了个懒腰,抬起头看了看,窗外天色大亮。

“没想到,证明完,还没天黑呢!”

楼梯口。

陈一航走了上来。

“什么没天黑?这是下一个天亮!”

“你做了一晚上了。”

孙振河后知后觉,挠挠头道:“这么久吗?”

下一个天亮…

他马上想到一点,笑了出来,“师父,我做到了!”

陈一航上前抱住他:“好样的!”

在师父的温暖怀抱中,孙振河喜极而泣。

他知道…

他的世界,天要亮了。

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